Question

已知公差大于零的等差数列{a_n}满足a₁，a₃，a₅+18成等比数列，且第5到第9项之间的和是100．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

an+4

3

，若数列{

1

bnbn+1

}的前n项和为S_n，求

Sn

n+2

的最大值．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用“裂项求和”、基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₁，a₃，a₅+18成等比数列，且第5到第9项之间的和是100．
∴(a1+2d)2=a1•(a5+18)，a₅+a₆+a₇+a₈+a₉=100，
∴(a1+2d)2=a₁（a₁+4d+18），5a₁+30d=100，
解得a₁=2，d=3．
∴a_n=2+3（n-1）=3n-1．
（2）b_n=

an+4

3

=n+1，
∴

1

bnbn+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
其前n项和为S_n=(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n+1

-

1

n+2

)=

1

2

-

1

n+2

=

n

2(n+2)

．
∴

Sn

n+2

=

n

2(n+2)2

=

1

2n+ 8 n +8

≤

1

2 n• 4 n +8

=

1

12

，当且仅当n=2时取等号．
∴

Sn

n+2

的最大值是

1

12

．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．