Question

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=

-7x

x2+x+1

．
（1）求f（-4）的值；
（2）求当x＜0时，f（x）的解析式；
（3）试证明函数y=f（x）（x≥0）在[0，1]上为减函数．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数为偶函数，f（-4）=f（4），则问题可解；
（2）可先设x＜0，则-x＞0，然后将-x代入f（x）（x＞0）时的解析式，结合奇偶性化简即可；
（3）利用单调性的定义证明．

解答： 解：（1）由已知得f（-4）=f（4）=-

4

3

．
（2）当x＜0时，-x＞0．
所以f(-x)=

7x

x2-x+1

．
又f（x）是偶函数．
所以f(x)=f(-x)=

7x

x2-x+1

．
（3）设0＜x₁＜x₂＜1．
所以f(x1)-f(x2)=

-7x1

x12+x1+1

-

-7x2

x22+x2+1

=

7(x1-x2)(x1x2-1)

(x12+x1+1)(x22+x2+1)

．
因为0＜x₁＜x₂＜1，所以x1-x2＜0，x1x2-1＜0，x12+x1+1＞0，x22+x2+1＞0．
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
所以函数y=f（x）（x≥0）在[0，1]上为减函数．

点评：本题综合考查了函数的奇偶性、单调性等函数的性质，对概念的准确理解是解题的关键．