Question

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C，向量

m

=（2sinB，2-cos2B），

n

=（2sin²（

B

2

+

π

4

），-1）且

m

⊥

n

（1）求角B的大小；
（2）若a=

3

，b=1，求c的值．

Answer 1

考点：余弦定理,数量积判断两个平面向量的垂直关系,二倍角的余弦

专题：计算题,解三角形,平面向量及应用

分析：（1）根据

m

⊥

n

即

m

•

n

=0得关于角B的三角函数的方程，运用二倍角公式和诱导公式化简，即可求出角B；
（2）由a＞b，得到A＞B，即B=

π

6

，根据余弦定理可得一个关于c的一元二次方程，解这个方程求解c值．

解答： 解：（1）由于

m

⊥

n

，则

m

•

n

=0，
即有2sinB•2sin²（

B

2

+

π

4

）-（2-cos2B）=0，
即2sinB•[1-cos2（

B

2

+

π

4

）]-2+cos2B=0，
即2sinB+2sin²B-2+1-2sin²B=0，
解得sinB=

1

2

，
由于0＜B＜π，则B=

π

6

或

5π

6

；
（2）由a＞b，得到A＞B，即B=

π

6

，
由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，
代入得：1=3+c²-2

3

c•

3

2

，
即c²-3c+2=0，
解得c=1或c=2．

点评：本题考查三角形中三角恒等变换、解三角形．方程思想在三角形问题中的应用极为广泛，根据已知条件可得方程、根据正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等都可以得到方程，解三角形问题的实质就是根据有关定理列方程求解未知元素．