Question

已知△ABC顶点的直角坐标分别是A（3，5）、B（0，1）、C（8，-7）．
（1）求cosB的值；
（2）若

AD

=（-2，-5），证明：B、C、D三点共线．

Answer 1

考点：余弦定理,直线的斜率

专题：解三角形,平面向量及应用

分析：（1）（方法一）由两点间距离公式可求AB，AC，BC的值，由余弦定理即可求cosB；（方法二）求出两个向量，由向量的夹角公式即可得解．
（2）（方法一）求出向量

BC

，

BD

，可得

BC

=8

BD

，从而得证．
（方法二）先求直线BC的方程，设D（m，n），由

AD

=（-2，-5）可解得D点坐标，从而可求得B、C、D三点共线．

解答： 解：（1）（方法一）AB=

(0-3)2+(1-5)2

=5，AC=13，BC=8

2

…（3分）
cosB=

AB2+BC2-AC2

2×AB×BC

=

52+(8 2 ) 2-132

2×5×8 2

=-

2

10

…（6分）（公式2分）
（方法二）

BA

=(3，4)，

BC

=(8，-8)…（2分）
cosB=

BA • BC

| BA |•| BC |

=

3×8-4×8

5×8 2

=-

2

10

…（6分）（公式2分）
（2）（方法一）

BC

=(8，-8)，

BD

=

BA

+

AD

=(1，-1)…（9分）
∵

BC

=8

BD

，
∴

BC

、

BD

共线…（11分）
∵

BC

、

BD

有共同的始点，
∴B、C、D三点共线…（12分）
（方法二）经过B（0，1）、C（8，-7）两点的直线BC的方程为

y-1

-7-1

=

x-0

8-0

（即x+y=1）…（9分）
设D（m，n），由

AD

=（-2，-5）得（x-3，y-5）…（10分）
解得D（1，0）…（11分）
∵

0-1

-7-1

=

1-0

8-0

（或1+0=1），
∴（D在BC上）B、C、D三点共线…（12分）

点评：本题主要考查了余弦定理，直线的方程，向量的夹角公式以及两点间距离公式的应用，熟练记忆和使用公式是解题的关键，属于中档题．