Question

已知数列{a_n}，a₁=

3

2

，a₂=

15

4

，若数列{a_n+1-2a_n}，{2a_n+1-a_n}都是等比数列，公比分别是q₁，q₂（q₁≠q₂）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设S_n是数列{

1

an

}的前n项和，求证：S_n＜

4

3

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由数列{a_n+1-2a_n}、{2a_n+1-a_n}的公比分别为q₁、q₂，写出等比数列{a_n+1-2a_n}，{2a_n+1-a_n}的通项公式，联立求得q₁，q₂（q₁≠q₂），则数列{a_n}的通项公式可求；
（2）由

1

an

=

2n

22n-1

＜

1

2

•

2n-1

22n-2-1

=

1

2

•

1

an-1

＜

1

22

•

1

an-2

＜…＜

1

2n-1

•

1

a1

，然后利用等比数列的前n项和证得答案．

解答： （Ⅰ）解：∵数列{a_n+1-2a_n}、{2a_n+1-a_n}的公比分别为q₁、q₂，
∴

an+1-2an=(a2-2a1) q n-1 1 = 3 4 q n-1 1 …(1) 2an+1-an=(2a2-a1) q n-1 2 =6 q n-1 2 …(2)

，
2×（2）-（1）得：an+1=4

q

n-1 2

-

1

4

q

n-1 1

…(3)，
（2）-2×（1）得：an=2

q

n-1 2

-

1

2

q

n-1 1

…(4)，
∵a2=

15

4

，由（4）得：2q2-

1

2

q1=

15

4

，∴q1=4q2-

15

2

，
又分别由（3）、（4）得：a3=4q2-

1

4

q1=2

q

2 2

-

1

2

q

2 1

，
∴2q22-9q2+10=0，解得

q1= 1 2 q2=2

或

q1= 5 2 q2= 5 2

（不合题意，舍去）．
由（4）得：an=2n-

1

2n

；
（2）证明：∵

1

an

=

2n

22n-1

＜

1

2

•

2n-1

22n-2-1

=

1

2

•

1

an-1

＜

1

22

•

1

an-2

＜…＜

1

2n-1

•

1

a1

，
∴Sn≤

1

a1

(1+

1

2

+…+

1

2n-1

)=

2

3

(2-

1

2n-1

)＜

4

3

．

点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，考查了计算能力，训练了利用放缩法证明数列不等式，是中档题．