Question

已知x，x都为整数，且满足（

1

x

+

1

y

）（

1

x2

+

1

y2

）=-

2

3

（

1

x4

-

1

y4

），则x+y的可能值有

 

个．

Answer 1

考点：有理数指数幂的化简求值

专题：函数的性质及应用

分析：由

1

x4

-

1

y4

=(

1

x2

+

1

y2

)(

1

x2

-

1

y2

)，（

1

x

+

1

y

）（

1

x2

+

1

y2

）=-

2

3

（

1

x4

-

1

y4

），化为

1

x

+

1

y

=-

2

3

(

1

x2

-

1

y2

)，即(

1

x

+

1

y

)[1+

2

3

(

1

x

-

1

y

)]=0，
可得

1

x

+

1

y

=0，或

1

x

-

1

y

=-

3

2

．即可得出．

解答： 解：∵

1

x4

-

1

y4

=(

1

x2

+

1

y2

)(

1

x2

-

1

y2

)，（

1

x

+

1

y

）（

1

x2

+

1

y2

）=-

2

3

（

1

x4

-

1

y4

），
又∵

1

x2

+

1

y2

≠0，
∴

1

x

+

1

y

=-

2

3

(

1

x2

-

1

y2

)，
化为(

1

x

+

1

y

)[1+

2

3

(

1

x

-

1

y

)]=0，
∴

1

x

+

1

y

=0，或

1

x

-

1

y

=-

3

2

．
由

1

x

+

1

y

=0，可得x+y=0，（x•y≠0）；
由

1

x

-

1

y

=-

3

2

，化为x=

2y

2-3y

，∴x+y=

2y

2-3y

+y=

2

2 y -3

+y，只有当y=1或2时，x分别为-2，-1．
∴x+y=-1或1，
综上可得：x+y=-1或1或0．
故答案为：3．

点评：本题考查了因式分解方法、乘法公式、整数的性质，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．