Question

定义在R上的函数f（x）满足：f（1）=-2，且对于任意的x∈R，都有f′（x）＞2，则不等式f（2^x）＞2^x+1-4的解集为（　　）

• A、（1，+∞）
• B、（-∞，0）
• C、（0，+∞）
• D、（-∞，1）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：根据条件构造函数g（x）=f（x）-（2x-4），求函数的导数，利用导数研究函数的单调性即可得到结论．

解答： 解：设g（x）=f（x）-（2x-4），
则函数的导数g′（x）=f′（x）-2，
∵f′（x）＞2，∴g′（x）=f′（x）-2＞0，
即函数g（x）为增函数，
∵f（1）=-2，
∴g（1）=f（1）-（2-4）=-2+2=0，
不等式g（x）＞0等价为g（x）＞g（1），
则对应的解为x＞1，
即f（x）＞2x-4的解为x＞1，
由2^x＞1得，x＞0，
即不等式f（2^x）＞2^x+1-4的解集为（0，+∞），
故选：C

点评：本题主要考查不等式的求解，构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．