Question

已知在平面坐标系xOy之中，点A（0，-n），B（0，n）（n＞0），命题p：若存在某个点P在圆（x+

3

）²+（y-1）²=1上，使得∠APB=

π

2

，则1≤n≤3；命题q：函数f（x）=

4

3

-log₃^x在区间（3，4）内没有零点，下列命题为真命题的是（　　）

• A、p∧（￢q）
• B、p∧q
• C、（￢p）∧q
• D、（￢p）∨q

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：命题p：圆（x+

3

）²+（y-1）²=1的圆心C(-

3

，1)，半径r=1；设以原点O为圆心，n为半径的圆为x²+y²=n²，|OC|=2．利用两个圆外切与内切的性质即可得出n的取值范围．利用函数零点存在定理、函数的单调性即可判断出命题q的真假．

解答： 解：命题p：圆（x+

3

）²+（y-1）²=1的圆心C(-

3

，1)，半径r=1；设以原点O为圆心，n为半径的圆为x²+y²=n²．|OC|=

(- 3 )2+1

=2，
当两个圆外切时，由1+n=2，解得n=1；当两个圆内切时，由n-1=2，解得n=3．因此使得∠APB=

π

2

，则1≤n≤3，是真命题；
命题q：函数f（x）=

4

3

-log₃^x在区间（3，4）内没有零点，∵4³＜3⁴，∴log343＜log334=4，∴log34＜

4

3

，而log₃3=1，∴f（3）＞0，f（4）＞0，而函数f（x）在区间（3，4）内单调递减，因此函数f（x）在区间（3，4）内没有零点，是真命题．
因此只有p∧q为真命题．
故选：B．

点评：本题考查了函数零点存在定理、函数的单调性、两个圆外切与内切的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．