Question

已知函数f（x）=a^x+

x-2

x+1

（a＞1）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）函数f（x）是否有负零点，若有，请求出负零点；若没有，请予以证明．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先求出函数的定义域，利用导数的符号判断函数的单调性．
（2）化简函数的解析式，根据函数的单调性及最值判断函数的零点个数，从而得出结论．

解答： 解：（1）由函数f（x）=a^x+

x-2

x+1

（a＞1），可得x≠-1，
故函数f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（-1，+∞）．   
由于f′（x）=a^xlna+

3

(x+1)2

，a＞1，∴a^x＞0，lna＞0，又x≠-1，

3

(x+1)2

＞0．
所以，当x∈（-∞，-1）时，f'（x）＞0；当x∈（-1，+∞），f'（x）＞0．   
故函数f（x）在（-∞，-1）和（-1，+∞）上是单调递增的．   
（2）函数f（x）没有负零点，原因如下：
f（x）=a^x+

x-2

x+1

=a^x-

3

x+1

+1，
当x＜-1时，因为a^x＞0，-

3

x+1

＞0，所以f（x）＞1，故函数f（x）在（-∞，-1）上没有零点．
当-1＜x＜0时，因为函数f（x）在（-1，+∞）上是单调递增的，
所以，当-1＜x＜0时，f（x）＜f（0），又f（0）=a⁰-

3

0+1

+1=-1，所以f（x）＜-1．
故函数f（x）在（-1，0）上没有零点． 
综上可知，函数f（x）没有负零点．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的零点的判定定理，属于中档题．