Question

已知数列{a_n}的首项a₁=

3

2

，前n项和为S_n，且满足2a_n+1+S_n=3（n∈N^*）
（Ⅰ）求a₂及a_n；
（Ⅱ）求满足

34

33

＜

S2n

Sn

＜

8

7

的所有n的值．

Answer 1

考点：数列递推式,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据数列的递推关系，令n=1，即可求a₂，构造方程组里有作差法，构造等比数列即可求a_n；
（Ⅱ）根据数列的递推关系求出S_n，然后代入不等式，解不等式即可．

解答： 解：（Ⅰ）由2a_n+1+S_n=3，得2a₂+a₁=3，
又a₁=

3

2

，
∴a₂=

1

2

（3-

3

2

）=

3

4

．
由2a_n+1+S_n=3，2a_n+S_n-1=3（n≥2）相减，
得

an+1

an

=

1

2

，
∵

a2

a1

=

1

2

，
∴数列{a_n}是以

3

2

为首项，
以

1

2

为公比的等比数列．
因此a_n=

3

2

（

1

2

）^n-1=3×（

1

2

）ⁿ（n∈N^*）．
（Ⅱ）∵2a_n+1+S_n=3，
∴S_n=3-2a_n+1=3-3×（

1

2

）ⁿ，
则由

34

33

＜

S2n

Sn

＜

8

7

得

34

33

＜

3-3( 1 2 )2n

3-3( 1 2 )n

＜

8

7

，
即

34

33

＜1+（

1

2

）ⁿ＜

8

7

，
即

1

33

＜（

1

2

）ⁿ＜

1

7

∴n=3，4，5．

点评：本题主要考查等比数列的应用，根据数列的递推关系，结合等比数列的定义求出通项公式是解决本题的关键．