Question

已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x（2-x）．
（1）在给定的图示中画出函数f（x）的图象（不需列表）；
（2）求函数f（x）的解析式；
（3）讨论方程f（x）-k=0的根的情况．（只需写出结果，不要解答过程）

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据题意先画出f（x）在[0，+∞）上的图象，然后根据该函数为偶函数画出另一半的图象；
（2）根据偶函数的性质可以求出x＜0时的解析式，然后得到整个定义域上的函数解析式；
（3）结合图象，利用数形结合的思想可获解．

解答： 解：（1）由已知得函数f（x）的图象如图所示．

（2）设x≤0，则-x≥0，
∵当x≥0时，f（x）=x（2-x）
∴f（-x）=-x（x+2）；
由f（x）是定义域为R的偶函数知：f（-x）=f（x），
∴f（x）=-x（x+2），（x∈（-∞，0]）；…（3分）
所以函数f（x）的解析式是f(x)=

x(2-x)x∈[0，+∞)

．
（3）由题意得：k=f（x），当k＜0或k=1时，方程f（x）-k=0有两个根，
当k=0时，方程f（x）-k=0有三个根，
当0＜k＜1时，方程f（x）-k=0有四个根．
当k＞1时，方程f（x）-k=0没有实数根．

点评：本题考查了函数的偶函数的图象性质，以及利用图象解决方程的根的个数的问题，体现了数形结合思想的应用．