Question

已知O为△ABC的外心，∠BAC=45°，若

AO

•

AB

=1，若

AO

•

AC

=2，则△ABC的面积为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,余弦定理

专题：平面向量及应用

分析：先设AB=c，AC=b，外接圆的半径为R，利用余弦定理求出cos∠BAO、cos∠CAO，由条件和数量积运算求出边c、b，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积．

解答： 解：设AB=c，AC=b，外接圆的半径为R，
在△ABO中，由余弦定理得cos∠BAO=

AB2+AO2-BO2

2•AB•AO

=

c2+R2-R2

2cR

=

c

2R

，
同理可得，cos∠CAO=

b

2R

，
因为

AO

•

AB

=1，

AO

•

AC

=2，
所以cR•

c

2R

=1，bR•

b

2R

=2，解得c=

2

，b=2，
又∠BAC=45°，
则△ABC的面积为S=

1

2

×|AB|×|AC|sin∠BAC=

1

2

×

2

×2×

2

2

=1，
故答案为：1．

点评：本题考查了平面向量数量积运算，余弦定理，三角形的面积公式，属于中档题．