Question

已知正△ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是（　　）

• A、

  7

  4

  π
• B、2π
• C、

  9

  4

  π
• D、3π

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：空间位置关系与距离

分析：设正△ABC的中心为O₁，连结O₁A．根据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，而经过点E的球O的截面，当截面与OE垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值．

解答： 解：设正△ABC的中心为O₁，连结O₁A
∵O₁是正△ABC的中心，A、B、C三点都在球面上，
∴O₁O⊥平面ABC，∵球的半径R=2，球心O到平面ABC的距离为1，得O₁O=1，
∴Rt△O₁OA中，O₁A=

OA2-OO12

=

3

．
又∵E为BC的中点，△ABC是等边三角形，∴AE=AO₁cos30°=

3

2

．
∵过E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的半径最小，
∴当截面与OE垂直时，截面圆的面积有最小值．
此时截面圆的半径r=

3

2

，
可得截面面积为S=πr²=

9π

4

．
故选C．

点评：本题已知球的内接正三角形与球心的距离，求经过正三角形中点的最小截面圆的面积．着重考查了勾股定理、球的截面圆性质与正三角形的性质等知识，属于中档题．