Question

已知A，B是单位圆C上的两个定点，对任意实数λ，|

AC

-λ

AB

|有最小值

1

2

，则|

AB

|=

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,平面向量及应用

分析：由A，B是单位圆C上的两个定点，则|

AC

|=|

BC

|=1，令|

AB

|=t，运用向量的平方即为模的平方，化简整理，结合余弦定理，可得关于λ的二次函数λ²t²-λt²+1，运用二次函数的最值，即可得到最小值，解方程进而得到t．

解答： 解：由A，B是单位圆C上的两个定点，
则|

AC

|=|

BC

|=1，令|

AB

|=t，
y=|

AC

-λ

AB

|²=（

AC

-λ

AB

）²=

AC

2-2λ

AB

•

AC

+λ²|

AB

|²
=1-2λ|

AB

|•|

AC

|cosA+λ²|

AB

|²
=1-λ（t²+1-1）+λ²t²=λ²t²-λt²+1，
当λ=-

-t2

2t2

=

1

2

时，y取得最小值，且为

1

4

t²-

1

2

t²+1=1-

1

4

t²，
由于对任意实数λ，|

AC

-λ

AB

|有最小值

1

2

，
则1-

1

4

t²=

1

4

，解得t=

3

．
故答案为：

3

．

点评：本题考查向量的数量积的定义和性质，主要考查向量的平方即为模的平方，运用二次函数的最值是解题的关键，属于中档题和易错题．