Question

已知定义在R上的函数f（x）满足：
①值域为（-1，1），且当x＞0时，-1＜f（x）＜0；
②对于定义域内任意的实数x、y，均满足：f（x+y）=

f(x)+f(y)

1+f(x)f(y)

（1）试求f（0）的值；
（2）已知函数g（x）的定义域为（-1，1），且满足条件g[f（x）]=x对任意x∈R恒成立，求g（

1

2

）+g（-

1

2

）；
（3）证明：g（

1

5

）+g（

1

11

）+…+g（

1

n2+3n+1

）＞g（

1

2

）．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用赋值法，令x=y=0，可求出f（0）的值；
（2）利用反函数的性质得到，g（x）与f（x）互为反函数，继而得到利用赋值法研究函数g（x）的性质，令x=y=0得，g（0）=0，再令y=-x，得g（-x）=-g（x），所以该函数是奇函数根据条件，问题得以解决；
（3）由g（

1

n2+3n+1

）=g（

1

n+1

）-g（

1

n+2

）则依次规律，然后利用列项法将左边化简，最后利用单调性解决问题．

解答： 解：（1）由x=y=0得f（0）=

f(0)+f(0)

1+f(0)f(0)

，
∴f（0）=0，或f（0）=-1，或f（0）=1，
∵值域为（-1，1），
∴f（0）=0，
（2）∵g（x）的定义域为（-1，1），且满足条件g[f（x）]=x，f（x+y）=

f(x)+f(y)

1+f(x)f(y)

∴g[f（x+y）]=x+y，
∴g（x）+g（y）=g（

x+y

1+xy

），
令x=y=0，则g（0）=0，
同理，令y=-x，得g（-x）=-g（x），
∴函数g（x）为奇函数，
∴g（

1

2

）+g（-

1

2

）=g（

1

2

）-g（

1

2

）=0，
（3）∵g（x）+g（y）=g（

x+y

1+xy

），
∴g（

1

n2+3n+1

）=g（

1 n+1 - 1 n+2

1- 1 n+1 • 1 n+2

）=g（

1

n+1

）-g（

1

n+2

）
∴g（

1

5

）+g（

1

11

）+…+g（

1

n2+3n+1

）=g（

1

2

）-g（

1

3

）+g（

1

3

）-g（

1

4

）+…+g（

1

n+1

）-g（

1

n+2

）
=g（

1

2

）-g（

1

n+2

），
∵0＜

1

n+2

＜1，
∴-1＜-

1

n+2

＜0，
∵当x＞0时，-1＜f（x）＜0；
∴-g（

1

n+2

）=g（-

1

n+2

）＞0，
∴g（

1

2

）-g（

1

n+2

）＞g（

1

2

），
∴g（

1

5

）+g（

1

11

）+…+g（

1

n2+3n+1

）＞g（

1

2

）．

点评：本题考查抽象函数的应用，以及反函数的性质，函数的奇偶性的，放缩法，裂属于难题．