Question

函数f（x）=2acos²x+bsinxcosx，满足f（0）=2，f（

π

3

）=

1

2

+

3

2

，
（1）求函数f（x）的最大值和最小值；
（2）若α，β∈（0，π），f（α）=f（β），且α≠β，求tan（α+β）的值．

Answer 1

考点：任意角的概念,三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：（1）函数f（x）=a（1+cos2x）+

1

2

bsin2x，由于f（0）=2，f（

π

3

）=

1

2

+

3

2

，可得2a=2，a(1+cos

2π

3

)+

1

2

bsin

2π

3

=

1

2

+

3

2

，解出a，b，再利用两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性即可得出．
（2）由f（α）=f（β），可得sin(2α+

π

4

)=sin(2β+

π

4

)，由于α，β∈（0，π），且α≠β，可得2α+

π

4

+2β+

π

4

=π或3π，解出即可．

解答： 解：（1）函数f（x）=2acos²x+bsinxcosx=a（1+cos2x）+

1

2

bsin2x，
∵f（0）=2，f（

π

3

）=

1

2

+

3

2

，
∴2a=2，a(1+cos

2π

3

)+

1

2

bsin

2π

3

=

1

2

+

3

2

，
解得a=1，b=2．
∴f（x）=1+cos2x+sin2x
=

2

sin(2x+

π

4

)+1，
∵sin(2x+

π

4

)∈[-1，1]，
∴f（x）_max=

2

+1，f（x）_min=1-

2

．
（2）∵f（α）=f（β），
∴sin(2α+

π

4

)=sin(2β+

π

4

)，
∵α，β∈（0，π），且α≠β，
∴2α+

π

4

+2β+

π

4

=π或3π，
∴α+β=

π

4

或

5π

4

．
∴tan（α+β）=1．

点评：本题考查了三角函数的图象与性质、两角和差的正弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．