Question

已知函数f（x）=a-

2

x

（1）当a为何值时，y=f（x）是奇函数；
（2）证明：不论a为何值，y=f（x）在（0，+∞）上是增函数．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数为奇函数，所以f（-x）=-f（x）恒成立，依此求出a的值；
（2）利用单调性的定义容易证明之．

解答： 解：（1）定义域为{x|x∈R且x≠0}，关于原点对称．
因为f（x）为奇函数，所以a-

2

-x

=-（a-

2

x

）恒成立．
所以a=-a，故a=0．
（2）任取0＜x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=-

2

x1

-(-

2

x2

)=

2(x1-x2)

x1x2

，
因为0＜x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0．
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
故原函数不论a取何值，y=f（x）在（0，+∞）上是增函数．

点评：本题考查了函数奇偶性的定义以及利用单调性定义证明单调性的方法，属于基础题．