Question

已知a，b为正实数，直线x+y+a=0与圆（x-b）²+（y-1）²=2相切，则

a2

b+1

的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用,直线与圆

分析：利用直线x+y+a=0与圆（x-b）²+（y-1）²=2相切可得|a+b+1|=2，即b=1-a，从而可得0＜a＜1，0＜b＜1，

a2

b+1

=

a2

2-a

，构造函数f（a）=

a2

2-a

，（0＜a＜1），借助导数即可求出f（a） 的范围，即

a2

b+1

的取值范围．

解答： 解：∵直线x+y+a=0与圆（x-b）²+（y-1）²=2相切，
∴圆心到直线的距离d=

|b+1+a|

2

=r=

2

，
即|a+b+1|=2，
∴a+b=1，或a+b=-3
∵a，b为正实数
∴a+b=-3（舍去），
即b=1-a，
∴0＜a＜1，0＜b＜1，

a2

b+1

=

a2

2-a

，
可令f（a）=

a2

2-a

，（0＜a＜1），
则f′(a)=

2a(2-a)+a2

(2-a)2

=

2a-a2

(2-a)2

，
∵当0＜a＜1时，2a-a²＞0，即f′（a）＞0，
∴f（a）在（0，1）上是增函数，
∴0＜f（a）＜1，
即

a2

b+1

的取值范围是（0，1）．
故答案为（0，1）．

点评：本题考查直线与圆的位置关系、不等式的性质和导数在研究函数中的应用等知识，属于难题．