Question

求函数f（x）=tan²x+2atanx+5在x∈[

π

4

，

π

2

]时的值域．

Answer 1

考点：复合三角函数的单调性

专题：函数的性质及应用,三角函数的求值

分析：首先通过恒等变换，把函数变形成标准的二次函数，进一步对参数a的范围和函数的定义域比较来进行分类讨论，最后求出结果．

解答： 解：函数f（x）=tan²x+2atanx+5=（tanx+a）²-a²+5
所以函数为以-a为对称轴，开口方向向上的抛物线．
由于x∈[

π

4

，

π

2

]
所以：tanx∈[1，+∞）
①当-a≤1时，即a≥-1在tanx=1处取得最小值，
所以函数的最小值为：y_min=6+2a
②当-a＞1时，即a＜-1在tanx=-a处取得最小值，
所以函数的最小值为：ymin=5-a2
综上所述①当a≥-1在tanx=1处取得最小值，函数的值域为：y∈[6+2a，+∞）
②当a＜-1在tanx=-a处取得最小值，函数的值域为：y∈[5-a²，+∞）

点评：本题考查的知识要点：复合函数的值域问题的应用，分类讨论思想的应用，属于基础题型．