Question

已知椭圆C：

x2

3

+

y2

b2

=1（0＜b＜

3

），其通径（过焦点且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段）长

4 3

3

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过椭圆C右焦点的直线（不与X轴重合）与椭圆交于A，B两点，且点M（

4

3

，0），判断

MA

•

MB

能否为常数？若能，求出该常数，若不能，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）把x=c=

3-b2

代入椭圆C：

x2

3

+

y2

b2

=1，可得y=±

b2

3

．由题意可得

2b2

3

=

4 3

3

，解得b²，即可得出．
（2）当直线与x轴垂直时，

MA

•

MB

=-

11

9

，当直线与x轴不垂直时，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线的方程为：y=k（x-1），与椭圆方程联立可得（2+3k²）x²-6k²x+3k²-6=0．利用根与系数的关系及其数量积运算即可得出．

解答： 解：（1）把x=c=

3-b2

代入椭圆C：

x2

3

+

y2

b2

=1，可得y=±

b2

3

．
∴

2b2

3

=

4 3

3

，解得b²=2．
∴椭圆C的方程为：

x2

3

+

y2

2

=1． 
（2）当直线与x轴垂直时，

MA

•

MB

=-

11

9

，
当直线与x轴不垂直时，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线的方程为：y=k（x-1），
 代入

x2

3

+

y2

2

=1，
得（2+3k²）x²-6k²x+3k²-6=0．
∴x1+x2=

6k2

2+3k2

，x1x2=

3k2-6

2+3k2

，
∴

MA

•

MB

=(x1-

4

3

，y1)•(x2-

4

3

，y2)=(x1-

4

3

)(x2-

4

3

)+y1y2
=x1x2-

4

3

(x1+x2)+

16

9

+k²（x₁-1）（x₂-1）
=（1+k²）x₁x₂-(

4

3

+k2)(x1+x2)+

16

9

+k² 
=(1+k2)

3k2-6

2+3k2

-(

4

3

+k2)

6k2

2+3k2

+

16

9

+k2=-

11

9

．
综上可得：

MA

•

MB

为常数-

11

9

．

点评：本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．