Question

设抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线与抛物线交于A、B两点
（1）若直线AB斜率为1，且|AB|=4，求p；
（2）若p=2，求线段AB中点G的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线的斜率

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设直线AB：y=x-

p

2

，代入y²=2px消去y，得x²-3px

p2

4

=0，运用韦达定理和抛物线的定义，即可求出p，从而得到方程；
（2）先由抛物线的方程得到其焦点坐标，设A（x₀，y₀），M（x，y），利用中点坐标公式得

x0=2x-1 y0=2y

，最后根据抛物线方程消去参数x₀，y₀，即得线段AF中点M的轨迹方程．

解答： 解：（1）由抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为（

p

2

，0），
设直线AB：y=x-

p

2

，代入y²=2px消去y，得x²-3px

p2

4

=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=3p，
由抛物线的定义得，|AB|=x₁+x₂+p=4p，
又|AB|=4，则p=1，
即抛物线方程是y²=2x；
（2）设A（x₀，y₀），M（x，y），焦点F（1，0），
则由题意

x0=2x-1 y0=2y

所求的轨迹方程为4y²=4（2x-1），即y²=2x-1．

点评：本题考查抛物线的方程、定义和性质，考查轨迹方程等基础知识，考查运算求解能力，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题．