Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，过椭圆顶点（a，0），（0，b）的直线与圆x²+y²=

2

3

相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点 M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点 A，B，设 P为椭圆上一点，且满足

OA

+

OB

=t

OP

（ O为坐标原点），当|

PA

-

PB

|＜

2 5

3

时，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意知e=

c

a

=

2

2

，利用a²=b²+c²，可得a²=2b²；由于过椭圆顶点（a，0），（0，b）的直线bx+ay-ab=0与圆x2+y2=

2

3

相切，
可得

|ab|

a2+b2

=

2 3

，联立解得即可．
（2）由题意知直线AB的斜率存在．设AB：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），与椭圆方程联立可得△＞0，及其根与系数的关系，再利用向量坐标运算、弦长公式、点与椭圆的位置关系即可得出．

解答： 解：（1）由题意知e=

c

a

=

2

2

，
∴e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

2

．即a²=2b²，①
∵过椭圆顶点（a，0），（0，b）的直线bx+ay-ab=0与圆x2+y2=

2

3

相切，
∴

|ab|

a2+b2

=

2 3

，②
由①②联立解得a²=2，b²=1，
故椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．
（2）由题意知直线AB的斜率存在．设AB：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），
由

y=k(x-2) x2 2 +y2=1.

得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0．
△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）＞0，可得k2＜

1

2

，
∴x₁+x₂=

8k2

1+2k2

，x1•x2=

8k2-2

1+2k2

．
∵

OA

+

OB

=t

OP

（ O为坐标原点），
∴（x₁+x₂，y₁+y₂）=（tx，ty），
∴（x，y）=(

x1+x2

t

，

y1+y2

t

)，
y₁+y₂=k（x₁+x₂-4）=

-4k

1+2k2

．
∵点P在椭圆上，∴

(8k2)2

t2(1+2k2)2

+2

(-4k)2

t2(1+2k2)2

=2，
∴16k²=t²（1+2k²），
∵|

PA

-

PB

|＜

2 5

3

，
∴

1+k2

|x1-x2|＜

2 5

3

，
(1+k2)[(x1+x2)2-4x1•x2]＜

20

9

，
∴(1+k2)[

64k4

(1+2k2)2

-4×

8k2-2

1+2k2

]＜

20

9

，
∴（4k²-1）（14k²+13）＞0，
∴k2＞

1

4

，
∴

1

4

＜k2＜

1

2

，
∵16k²=t²（1+2k²），
∴t2=

16k2

1+2k2

=8-

8

1+2k2

，
∴-2＜t＜-

2 6

3

或

2 6

3

＜t＜2，
∴实数取值范围为(-2，-

2 6

3

)∪(

2 6

3

，2)．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得△＞0及根与系数的关系、向量坐标运算、弦长公式、点与椭圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．