Question

如图所示，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝，平面PAC⊥平面ABC，PD⊥AC于点D，AD＝1，CD＝3，PD＝.

(1)证明：△PBC为直角三角形；

(2)求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

解：

(1)证明：因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PD⊂平面PAC，PD⊥AC，

所以PD⊥平面ABC.

记AC边上的中点为E，在△ABC中，

AB＝BC，所以BE⊥AC.

因为AB＝BC＝，AC＝4，

所以BE＝＝.

因为PD⊥AC，所以△PCD为直角三角形．

因为PD＝，CD＝3，

所以PC＝＝2.

连接BD，在Rt△BDE中，因为BE＝，DE＝1，

所以BD＝＝.

因为PD⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，所以PD⊥BD.

在Rt△PBD中，因为PD＝，BD＝，

所以PB＝＝.

在△PBC中，因为BC＝，PB＝，PC＝2，

所以BC²＋PB²＝PC²，

即△PBC为直角三角形．

(2)

以点E为坐标原点，以EB，EC所在的直线分别为x轴，y轴建立如图的空间直角坐标系Exyz，

则A(0，－2,0)，B(，0,0)，C(0,2,0)，P(0，－1，)．

于是

设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，

则

取y＝1，则z＝，x＝，

所以平面PBC的一个法向量为n＝(，1，)．

设直线AP与平面PBC所成的角为θ，

则sinθ＝|cos

所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为.