Question

已知数列{a_n}是等比数列，公比为q≠1，a₁=1，a₂，a₁，a₃成等差数列．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若{a_n}的前n项和为S_n，b_n=nS_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用等比数列的前n项和公式可得S_n=

1-(-2)n

3

，可得b_n=nS_n=

1

3

[n-n(-2)n]．利用“错位相减法”、等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）∵a₁=1，a₂，a₁，a₃成等差数列，
∴2a₁=a₂+a₃，
∴2=q+q²，q≠1，
解得q=-2．
∴a_n=（-2）^n-1．
（2）S_n=

1-(-2)n

1-(-2)

=

1-(-2)n

3

，
∴b_n=nS_n=

n[1-(-2)n]

3

=

1

3

[n-n(-2)n]．
设数列{n（-2）ⁿ}的前n项和为A_n=1•（-2）+2•（-2）²+3•（-2）³+…+n•（-2）ⁿ，
-2A_n=（-2）²+2（-2）³+…+（n-1）•（-2）ⁿ+n•（-2）ⁿ⁺¹，
∴3A_n=-2+（-2）²+（-2）³+…+（-2）ⁿ-n•（-2）ⁿ⁺¹=

-2[1-(-2)n]

1-(-2)

-n•（-2）ⁿ⁺¹=

-2-(1+3n)•(-2)n+1

3

，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=

1

3

×

n(n+1)

2

-

1

3

×

-2-(1+3n)•(-2)n+1

9

=

n2+n

6

+

2+(1+3n)•(-2)n+1

27

．

点评：本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．