Question

7．已知函数f（x）=$\frac{x}{4}$+$\frac{a}{x}$-lnx-$\frac{3}{2}$，其中a∈R，x=5是函数y=f（x）的一个极值点
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值．

Answer 1

分析 （1）求出曲线y=f（x）的导数，可得f′（5）=0，可求出a的值；
（2）根据（1）可得函数的解析式和导函数的解析式，分析导函数的符号，进而可得函数f（x）的单调区间与极值．

解答 解：（1）∵f′（x）=$\frac{1}{4}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$，
∴f′（5）=0，
解得：a=$\frac{5}{4}$．
（2）由（1）知：f（x）=$\frac{x}{4}$+$\frac{5}{4x}$-lnx-$\frac{3}{2}$，
f′（x）=$\frac{{x}^{2}-4x-5}{{4x}^{2}}$（x＞0），
令f′（x）=0，
解得x=5，或x=-1（舍），
∵当x∈（0，5）时，f′（x）＜0，
当x∈（5，+∞）时，f′（x）＞0，
故函数f（x）的单调递增区间为（5，+∞）；
单调递减区间为（0，5）；
当x=5时，函数取极小值-ln5．

点评 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，是导数的综合应用，难度中档．