Question

8．已知向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{3}$，且|$\overrightarrow{a}$|=3，|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{19}$，则|$\overrightarrow{b}$|=2．

Answer 1

分析 根据题意，设|$\overrightarrow{b}$|=t，（t＞0），由向量数量积的运算公式可得|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）²=9+t²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=9+t²+3t=19，化简可得t²+3t-10=0，解可得t的值，即可得答案．

解答 解：根据题意，设|$\overrightarrow{b}$|=t，（t＞0）
若|$\overrightarrow{a}$|=3，|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{19}$，向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{3}$，
则有|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）²=9+t²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=9+t²+3t=19，
即t²+3t-10=0，
解可得t=2或t=-5（舍），
则|$\overrightarrow{b}$|=2；
故答案为：2．

点评 本题考查向量的数量积的计算，关键是掌握向量数量积的运算的性质以及公式．