Question

【题目】在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，为线段的中点，底面，点是棱的中点，平面与棱相交于点．

（1）求证：；

（2）若与所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）首先证明四边形为平行四边形，得到，然后可得平面，然后由线面平行的性质定理可证；

（2）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，设，首先利用与所成的角为求出，然后算出平面的法向量坐标和的坐标，然后可算出答案.

（1）证明：因为为中点，且

所以，又因为，所以

所以四边形为平行四边形

所以，因为平面，平面，所以平面

因为平面，平面平面

所以

（2）由（1）可得

因为，所以，且平面

所以以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系

设，，，

，，因为与所成角为

所以，

解得

所以，，

，，

设平面得一个法向量

，可得，可取

设直线与平面所成的角为