Question

【题目】在平面直角坐标系中，定义为两点、

的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点，称的最小值为点到

直线的“切比雪夫距离”，记作，给出下列三个命题：

① 对任意三点、、，都有；

② 已知点和直线，则；

③ 定点、，动点满足（），

则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点；

其中真命题的个数是（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Answer 1

【答案】D

【解析】设，由题意可得：

同理可得： ,则：

，

命题①成立；

设点Q是直线y=2x-1上一点，且Q（x,2x-1），可得，

由，解得，即有，当时取得最小值；

由，解得或，即有，

的范围是，无最小值.

综上可得，P,Q两点的“切比雪夫距离”的最小值为.

说法②正确.

定点、，动点满足（），则：

，

显然上述方程所表示的曲线关于原点对称，故不妨设x≥0，y≥0.

(1)当时，有，得： ；

(2)当时，有，此时无解；

(3)当时，有；

则点P的轨迹是如图所示的以原点为中心的两支折线.

结合图象可知，点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点，命题③正确.

综上可得命题①②③均正确，真命题的个数是3.

本题选择D选项.