Question

从2¹，2²，2³，…，2ⁿ这n个数中取m（n，m∈N^*，2≤m≤n）个数组成递增的等比数列，所有可能的递增等比数列的个数记为φ（n，m），则φ（100，10）=（　　）

• A、504
• B、505
• C、506
• D、507

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：设满足条件的一个等比数列首项为a₁，公比为q，q∈N^*．q的可能取值为2¹，2²，…，2¹¹，即可求φ（100，10）．

解答： 解：设满足条件的一个等比数列首项为a₁，公比为q，q∈N^*．
∵a₁₀=a₁×q⁹，
∴q的可能取值为2¹，2²，…，2¹¹．
对于给定的q，a₁=a₁₀÷q⁹≤2¹⁰⁰÷q⁹，当a₁分别取2¹，2²，…，2¹⁰⁰÷q⁹时，可得递增等比数列2¹⁰⁰÷q⁹个∴当q取2¹，2²，…，2¹¹时，可得符合要求的等比数列的个数为：
φ（100，10）=100•11-9（1+2+3+…+11）=506．
故选：C．

点评：本题考查新定义，考查数列知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确理解新定义是关键，属于难题．