Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，平面PAD⊥平面ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，M为PA的中点．
（Ⅰ）求证：AD⊥PB；
（Ⅱ）求证：DM∥平面PBC；
（Ⅲ）求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取AD中点O，连接OP，OB，OP⊥AD，OB⊥AD，利用线面垂直问题求解．
（Ⅱ）取PB中点N，连接NC，MN，四边形MNCD为平行四边形，根据判定定理证明DM∥平面PBC．
（Ⅲ）根据梯形的性质得出底面ABCD面积为：

1

2

×(1+2)×

3

=

3 3

2

，再利用面面垂直的性质得出四棱锥P-ABCD的高为：OP=1，利用椎体的体积公式即可得到．

解答： 解：（Ⅰ）取AD中点O，连接OP，OB，
∵，AB=AD=2CD=2，△PAD为等腰直角三角形，
∴OP⊥AD，OB⊥AD，
∵OP∩OB=O，
∴AD⊥平面OPB，
∵PB?平面OPB，
∴AD⊥PB；
（Ⅱ）取PB中点N，连接NC，MN，
∵AB=AD=2CD=2，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，M为PA的中点．
∴MN=DC=1，MN∥CD，
∴四边形MNCD为平行四边形，
∴MD∥NC，MD?平面CPB，NC?平面CPB，
∴DM∥平面PBC；
（Ⅲ）∵底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，
∴梯形的高为：2×sin60°=

3

，
∴底面ABCD面积为：

1

2

×(1+2)×

3

=

3 3

2

，
∵△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90，
∴OP=1，OP⊥AD
∵平面PAD⊥平面ABCD，
∴OP⊥平面ABCD，
即四棱锥P-ABCD的高为：OP=1，
∴四棱锥P-ABCD的体积为：

1

3

×

3 3

2

×1=

3

2

点评：本题考查了空间几何体的性质，运用直线与平面的平行，垂直的性质，判定定理，解决空间直线平面的位置关系，求解体积，属于中档题．