Question

2．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{3}$-2x）-cos2x，则
（1）函数f（x）的最小正周期为π；
（2）函数f（x）的最大值为1；
（3）函数f（x）的单调增区间为[kπ-$\frac{2π}{3}$，≤kπ-$\frac{π}{6}$]，k∈Z．理由根据余弦函数的增区间．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性，求得该函数的最小正周期．
（2）根据函数的解析式、余弦函数的最值，求得函数f（x）的最大值．
（3）利用余弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调增区间．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{3}$-2x）-cos2x=$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-$\frac{1}{2}$sin2x）-cos2x=$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x=cos（2x+$\frac{π}{3}$），
函数的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π；
故答案为：π．
（2）根据函数的解析式为y=cos（2x+$\frac{π}{3}$），可得函数的最大值为1，
故答案为：1．
（3）令2kπ-π≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ，求得kπ-$\frac{2π}{3}$≤x≤kπ-$\frac{π}{6}$，可得函数的减区间为[kπ-$\frac{2π}{3}$，kπ-$\frac{π}{6}$]，k∈Z，
故答案为：[kπ-$\frac{2π}{3}$，kπ-$\frac{π}{6}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的周期性和最值，余弦函数的单调性，属于中档题．