Question

已知函数f（x）=2sinxcosx+

3

（cos²x-sin²x）
（1）求f（x）的最小正周期和对称中心；
（2）求f（x）在区间[-

π

3

，

π

2

]上的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）将函数进行化简，根据三角函数的图象和性质即可求函数f（x）的最小正周期和对称中心坐标；
（2）根据x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质即可求出f（x）的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=2sinxcosx+

3

（cos²x-sin²x）=sin2x+

3

cos2x=2sin（2x+

π

3

）．
∴T=

2π

2

=π，
∴对称中心横坐标x应该满足2x+

π

3

=kπ，即x=

kπ

2

-

π

6

，k∈Z，此时y=0，
所以对称中心为（

kπ

2

-

π

6

，0）．
（2）∵-

π

3

≤x≤

π

2

，∴-

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

，
∴-

3

2

≤sin（2x+

π

3

）≤1，即-

3

≤2sin（2x+

π

3

）≤2，
则f（x）取值范围为（-

3

，2]．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，三角函数的周期性及其求法，利用三角函数的关系式进行化简是解决本题的关键，属于基本知识的考查．