Question

函数f（x）=x²和g（x）=log₃（x+1）的部分图象如图所示，设两函数的图象交于点O（0，0），A（x₀，y₀）．
（Ⅰ）请指出图中曲线C₁，C₂分别对应哪一个函数？
（Ⅱ）求证x₀∈（

1

2

，1）；
（Ⅱ）请通过直观感知，求出使f（x）＞g（x）+a对任何1＜x＜8恒成立时，实数a的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：计算题,作图题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）由图象特征可知，C₁是g（x）=log₃（x+1）的图象，C₂对应f（x）=x²；
（Ⅱ）令F（x）=f（x）-g（x）=x²-log₃（x+1），利用函数的零点判定定理证明；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，F（1）=1-log₃2＞0，且由图象可知，a＜1-log₃2．

解答： 解：（Ⅰ）C₁是g（x）=log₃（x+1）的图象，
C₂对应f（x）=x²；
（Ⅱ）证明：令F（x）=f（x）-g（x）=x²-log₃（x+1），
∵F（

1

2

）=

1

4

-log₃（

1

2

+1）=log₃2-

3

4

＜0，
F（1）=1-log₃2＞0，
故存在x₀∈（

1

2

，1），使F（x₀）=0，
即x₀是函数f（x）=x²和g（x）=log₃（x+1）的图象的交点；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，F（1）=1-log₃2＞0，
且由图象可知，
a＜1-log₃2．

点评：本题考查了幂函数与对数函数的区别及函数图象的应用，属于中档题．