Question

8．已知定义在区间[-$\frac{3π}{2}$，π]上的函数y=f（x）的图象关于直线x=-$\frac{π}{4}$对称，当x∈[-$\frac{π}{4}$，π]时，函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$），且其图象如图所示．
（1）求函数y=f（x）在区间[-$\frac{3π}{2}$，π]上的表达式；
（2）求满足f（x）=$\sqrt{3}$的实数x的集合．

Answer 1

分析 （1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数在[-$\frac{π}{4}$，π]上的解析式．再利用利用图象的对称性求函数在∈[-$\frac{3π}{2}$，-$\frac{π}{4}$]上的解析式，从而得出结论．
（2）由条件，分类讨论，分别求得x的值，从而得出结论．

解答 解：（1）由条件根据函数y=f（x）的图象，可得A=2，$\frac{1}{4}•\frac{2π}{ω}$=π-$\frac{π}{4}$，求得ω=$\frac{2}{3}$．
再根据五点法作图，可得$\frac{2}{3}$•$\frac{π}{4}$+φ=$\frac{π}{2}$，求得φ=$\frac{π}{3}$，
故函数f（x）在[-$\frac{π}{4}$，π]上的解析式为f（x）=2sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{3}$）．
设x∈[-$\frac{3π}{2}$，-$\frac{π}{4}$]，根据f（x）的图象关于直线x=-$\frac{π}{4}$对称，则-$\frac{π}{2}$-x∈[-$\frac{π}{4}$，π]，
故f（x）=f（-$\frac{π}{2}$-x）=2sin[$\frac{2}{3}$（-$\frac{π}{2}$-x）+$\frac{π}{3}$]=2sin（-$\frac{2}{3}$x）=-2sin$\frac{2}{3}$x，
即当x∈[-$\frac{3π}{2}$，-$\frac{π}{4}$]时，f（x）=-2sin$\frac{2}{3}$x．
综上可得，y=f（x）在区间[-$\frac{3π}{2}$，π]上的表达式为 f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2sin（\frac{2}{3}x+\frac{π}{3}），x∈[-\frac{π}{4}，π]}\\{-2sin\frac{2}{3}x，x∈[-\frac{3π}{2}，-\frac{π}{4}]}\end{array}\right.$．
（2）①由f（x）=2sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，x∈[-$\frac{π}{4}$，π]，
可得$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，π]，sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{3}$ 或 $\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$，求得x=0，或 x=$\frac{π}{2}$．
②由x∈[-$\frac{3π}{2}$，-$\frac{π}{4}$]时，f（x）=-2sin$\frac{2}{3}$x=$\sqrt{3}$，
可得$\frac{2}{3}$x∈[-π，-$\frac{π}{6}$]，sin$\frac{2}{3}$x=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴$\frac{2x}{3}$=-$\frac{2π}{3}$，或 $\frac{2x}{3}$=-$\frac{π}{3}$，
∴x=-π 或x=-$\frac{π}{2}$．
故当x∈[-$\frac{3π}{2}$，π]，可得x=0或$\frac{π}{2}$或-π或-$\frac{π}{2}$，即x的取值集合为{0，$\frac{π}{2}$，-π，-$\frac{π}{2}$ }．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值．还考查了利用图象的对称性求函数的解析式，解三角方程，属于中档题．