Question

已知函数，；
（1）求在处的切线方程；
（2）若有唯一解，求的取值范围；
（3）是否存在实数，使得与在上均为增函数，若存在求出的范围，若不存在请说明理由

Answer 1

（1）（2）或    （3）不存在实数 

本试题主要考查了导数的概念和导数的运算，以及导数的几何意义的运用，并利用导数研究函数的单调性和函数的零点问题的综合运用试题。
（1）先求解导数，利用点斜式写出切线方程。
（2）原方程等价于，令
则函数与在轴右侧有唯一交点。转化为图像与图像的交点来处理。
（3）分别分析函数的单调区间，然后结合结论，判定都是单调增函数时的参数的取值范围
解：（1）； ……………3分
（2）原方程等价于，令
则函数与在轴右侧有唯一交点。

当或时 ，当时
在上单调递减，在上单调递增。
时有极小值，时有极大值
当有唯一解时或     ……………8分
（3），
当时 ，当时
在上单调递减，在上单调递增。
在上单调递减，在上单调递增。
与在上单调递增， 使得与在上均为增函数则满足，不等式组无解，故不存在实数