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(本小题满分14分)设
(1)若函数在区间内单调递减,求的取值范围;
(2) 若函数处取得极小值是,求的值,并说明在区间内函数
的单调性.
(1);(2)f(x)在(1,3)内减,在[3,4)内增.
第一问中利用导数的思想,根据逆向问题,因为函数f(x)在区间(1,4)内单调递减,,则说明导数恒大于等于零在给定区间成立,然后分离参数的思想得到参数的取值范围。
第二问中,由于函数函数f(x)在x=a处取得极小值是1,结合导数为零,以及该点的函数值为1,得到参数a的值,然后,代入原式中,判定函数在给定区间的单调性即可。
解:
⑴∵函数f(x)在区间(1,4)内单调递减,
,∴
⑵∵函数f(x)在x=a处有极值是,∴f(a)=1.

,所以a=0或3.
a=0时,f(x)在上单调递增,在(0,1)上单调递减,所以f(0)为极大值,
这与函数f(x)在x=a处取得极小值是1矛盾,
所以
当a=3时,f(x)在(1,3)上单调递减,在上单调递增,所以f(3)为极小值,
所以a=3时,此时,在区间(1,4)内函数f(x)的单调性是:
f(x)在(1,3)内减,在[3,4)内增.
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