Question

6．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{1}{2}$，且过点$A（{1，\frac{3}{2}}）$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点B在椭圆上，点D在y轴上，且$\overrightarrow{BD}$=2$\overrightarrow{DA}$，求直线AB方程．

Answer 1

分析 （1）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，以及点A满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）设出B（x₀，y₀），D（0，m），运用向量共线的坐标表示，结合椭圆方程，可得m=1，B的坐标，再由直线方程的求法，即可得到．

解答 解：（1）∵$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}∴a=2c$，
∴b²=a²-c²=3c²
设椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}$=1，
∵椭圆过点$A（{1，\frac{3}{2}}）$．
∴$\frac{1}{{4{c^2}}}+\frac{3}{{4{c^2}}}=1∴c=1$，
则椭圆方程为：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（2）设B（x₀，y₀），D（0，m），
则$\overrightarrow{BD}=（-{x_0}，m-{y_0}）$，$\overrightarrow{DA}=（1，\frac{3}{2}-m）$，
由$\overrightarrow{BD}$=2$\overrightarrow{DA}$，
则-x₀=2，m-y₀=3-2m，即x₀=-2，y₀=3m-3，
代入椭圆方程得$\frac{4}{4}$+$\frac{（3m-3）^{2}}{3}$=1，
可得m=1，
∴B（-2，0），
又点$A（{1，\frac{3}{2}}）$．
AB的斜率为k=$\frac{\frac{3}{2}}{1+2}$=$\frac{1}{2}$，
∴直线AB的方程为y=$\frac{1}{2}$x+1．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，同时考查向量的共线的坐标表示，直线方程的求法，属于中档题．