Question

16．设f（x）=x³-$\frac{1}{2}{x^2}$-2x+3，当x∈[-1，2]时，f（x）＜m-1恒成立，则实数m的取值范围为（6，+∞）．

Answer 1

分析 利用导数求出函数的单调区间，再根据单调区间求出函数的最大值，再根据最大值小于m-1，求得实数m的取值范围．

解答 解：∵f（x）=x³-$\frac{1}{2}{x^2}$-2x+3，∴f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），
∴在[-1，-$\frac{2}{3}$）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数；在（-$\frac{2}{3}$，1]上，f′（x）＜0，f（x）为减函数；在（1，2]上，f′（x）＞0，f（x）为增函数．
由于f（-$\frac{2}{3}$）=$\frac{103}{27}$，f（2）=5，故函数f（x）在[-1，2]上的最大值为5．
再根据f（x）＜m-1恒成立，可得5＜m-1，求得 m＞6，
故答案为：（6，+∞）．

点评 本题主要考查利用导数求函数在闭区间上的最值，函数的恒成立问题，属于中档题．