Question

已知直角三角形ABC的斜边长AB=2，现以斜边AB为轴旋转一周，得旋转体．
（1）当∠A=30°时，求此旋转体的体积；
（2）当∠A=45°时，求旋转体表面积．

Answer 1

考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

专题：空间位置关系与距离

分析：以斜边AB为轴旋转一周，得旋转体为两个底面相同的圆锥相加所得的组合体；
（1）旋转体的体积等于以C到AB的距离CO为半径，两圆锥高之和为AB，进而得到此旋转体的体积；
（2）旋转体的表面积，是两个圆锥侧面积之和，求出两个圆锥母线的长，即直角三角形两直角边长，代入可得旋转体表面积．

解答： 解：（1）∵AB=2，∠A=30°，CB=1，CA=

3

，
过C作AB垂线交AB于O，则CO=

3

2

，
∴此旋转体的体积V=

1

3

π•CO2•AB=

π

2

，
（2）当∠A=45°，
AC=BC=

2

，
其表面积S=πr(AC+BC)=π•

2

2

•(

2

+

2

)=2π．

点评：本题考查的知识点是旋转体的体积和表面积，其中分析出几何体的形状及底面半径和母线长等几何量是解答的关键．