Question

已知数列{a_n}的首项a₁=

3

5

，a_n+1=

3an

2an+1

，n=1，2，…
（1）求证：{

1

an

-1}是等比数列，并求出{a_n}的通项公式；
（2）证明：对任意的x＞0，a_n≥

1

1+x

-

1

(1+x)2

（

2

3n

-x），n=1，2，…
（3）证明：n-

2

5

≥a₁+a₂+…+a_n＞

n2

n+1

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等比数列的性质,数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）把原数列递推式取倒数，然后配方化为

1

an+1

-1=

1

3

(

1

an

-1)，得到数列∴{

1

an

-1}是以

2

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列．则{a_n}的通项公式可求；
（2）把{a_n}的通项公式代入后作差，整理后由差式大于等于0得答案；
（3）不等式左边直接代入数列{a_n}的通项公式放缩得答案，借助于（2），分别取n=1，2，3，…，累加后取取x=

2 3 + 2 3n +…+ 2 3n

n

=

2 3 (1- 1 3n )

n(1- 1 3 )

=

1

n

(1-

1

3n

)证得答案．

解答： 证明：（1）∵a_n+1=

3an

2an+1

，
∴

1

an+1

=

2

3

+

1

3an

，即

1

an+1

-1=

1

3

(

1

an

-1)，
又

1

a1

-1=

2

3

≠0，
∴{

1

an

-1}是以

2

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列．
∴

1

an

-1=

2

3

•

1

3n-1

=

2

3n

，
∴an=

3n

3n+2

；
（2）an-[

1

1+x

-

1

(1+x)2

(

2

3n

-x)]=

3n

3n+2

-[

1

1+x

-

1

(1+x)2

(

2

3n

-x)]
=

(3n)2•x2-4•3n•x+4

(3n+2)•3n•(1+x)2

=

(3n•x-2)2

(3n+2)•3n•(1+x)2

≥0；
（3）由an=

3n

3n+2

=1-

2

3n+2

，知a1+a2+…+an=n-2(

1

5

+

1

11

+…+

1

3n+2

)≤n-

2

5

，
当n=1时等号成立．
∴n-

2

5

≥a₁+a₂+…+a_n；
由（2）知，对于任意x＞0，有
a1+a2+…+an≥

n

1+x

-

1

(1+x)2

(

2

3

+

2

32

+…+

2

3n

-nx)，
取x=

2 3 + 2 3n +…+ 2 3n

n

=

2 3 (1- 1 3n )

n(1- 1 3 )

=

1

n

(1-

1

3n

)，
则a₁+a₂+…+a_n≥

n

1+ 1 n (1- 1 3n )

=

n2

n+1- 1 3n

＞

n2

n+1

．
故n-

2

5

≥a₁+a₂+…+a_n＞

n2

n+1

．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了利用作差法及放缩法证明不等式，是难度较大的题目．