Question

设f（x）是定义在[a，b]上的函数，若存在c∈（a，b），使得f（x）在[a，c]上单调递减，在[c，b]上单调递增，则称f（x）为[a，b]上单谷函数，c为谷点．
（1）已知m∈R，判断函数f（x）=

1

3

x³-

m+1

2

x²+mx是否为区间[0，2]上的单谷函数；
（2）已知函数f_n（x）（n∈N^*且n≥2）的导函数f′_n=xⁿ+…+x²+x+3•（

2

3

）ⁿ-2．
①证明：f_n（x）为区间[0，

2

3

]上的单谷函数：
②记函数f_n（x）在区间[0，

2

3

]上的峰点为x_n，证明：x_n+1＞x_n．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据单谷函数的定义加以证明，注意对m的取值讨论；
（2）记g_n（x）=

f

′ n

(x)=xn+…+x2+x+3•(

2

3

)n-2，利用导数证明g_n（x）的单调性，
然后根据单谷函数的定义证明f_n（x）为区间[0，

2

3

]上的单谷函数及证明x_n+1＞x_n成立．

解答： 解：（1）∵f′（x）=x²-（m+1）x+m=（x-1）（x-m），--------------1分
∴当m≤0时，x∈（0，1）有f′（x）＜0，故f（x）在[0，1]上单调递减，x∈（1，2）有f′（x）＞0，f（x）在[1，2]上单调递增，
∴f（x）=

1

3

x³-

m+1

2

x²+mx在区间[0，2]上的单谷函数；-------------------------2分
当0＜m≤1时，x∈（0，m）有f′（x）＞0，f（x）在[0，m]上单调递增，∴f（x）不是区间[0，2]上的单谷函数；
当m＞1时，x∈（0，1）有f′（x）＞0，故f（x）在[0，1]上单调递增，
∴f（x）不是区间[0，2]上单谷函数；-----------------------------------------3分
综上所述，当m≤0时，f（x）是区间[0，2]上的单谷函数；
m＞0时，f（x）不是区间[0，2]上的单谷函数；-----------------------------4分
（2）①证明：记g_n（x）=

f

′ n

(x)=xn+…+x2+x+3•(

2

3

)n-2，
∴

g

′ n

(x)=nx^n-1+…+2x+1，---------------------------------5分
当x∈（0，

2

3

）时，

g

′ n

(x)＞0，∴函数

f

′ n

(x)在区间[0，

2

3

]上单调递增，--------------------6分
又∵

f

′ n

(0)=3(

2

3

)n-2，且n≥2时，(

2

3

)n≤

4

9

，∴

f

′ n

(0)＜0，

f

′ n

(

2

3

)=

2

3

+…+(

2

3

)n+3(

2

3

)n-2=

2 3 (1-( 2 3 )n)

1- 2 3

+3(

2

3

)n-2=(

2

3

)n＞0，----------8分
∴函数

f

′ n

(x)在区间（0，

2

3

）上存在唯一的零点，记为x_n，
∴x∈（0，x_n）有

f

′ n

(0)＜0，即f_n（x）在区间[0，x_n]上单调递减；
x∈（x_n，

2

3

）有

f

′ n

(0)＞0，即f_n（x）在区间[x_n，

2

3

]上单调递增；
∴n≥2，f_n（x）是区间[0，

2

3

]上的单谷函数，--------------------------10分
②证明：

f

′ n

(x)=xn+…+x2+x+3•(

2

3

)n-2，
∴

f

′ n+1

(xn)=

x

n+1 n

+

x

n n

+…+

x

2 n

+x_n+3(

2

3

)n+1-2  （i）-----------------------11分
由

f

′ n

(xn)=0可得；

x

n n

+…+

x

2 n

+x_n=2-3(

2

3

)n，代入（i）得

f

′ n+1

(xn)=

x

n+1 n

+（2-3(

2

3

)n）+3(

2

3

)n+1-2，
即

f

′ n+1

(xn)=

x

n+1 n

-(

2

3

)n，------------------------------------------12分
∵x_n∈（0，

2

3

），∴

x

n+1 n

＜

x

n n

＜(

2

3

)n，
∴

f

′ n+1

(xn)＜0，又∵

f

′ n+1

(xn+1)=0，
∴

f

′ n+1

(xn)＜

f

′ n+1

(xn+1)，由①知

f

′ n+1

(xn)单调递增，
∴x_n+1＞x_n．-----------------------------------------------------14分

点评：本题主要考查函数、导数、不等式的证明等知识，通过运用导数知识解决函数、不等式问题，考查学生综合运用数学知识解决问题的能力，
同时也考查分类讨论数学，函数与方程数学划归与转化思想．