Question

设点P为圆C₁：x²+y²=2上的动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q．动点M满足

2

MQ

=

PQ

（其中P，Q不重合）．
（Ⅰ）求点M的轨迹C₂的方程；
（Ⅱ）过直线x=-2上的动点T作圆C₁的两条切线，设切点分别为A，B．若直线AB与（Ⅰ）中的曲线C₂交于C，D两点，求

|AB|

|CD|

的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设点M（x，y），由

2

MQ

=

PQ

，得P(x，

2

y)，由此能求出M的轨迹方程．
（Ⅱ）设点T（-2，t），A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），由已知条件推导出AT，BT的方程为：x₃x+y₃y=2，x₄x+y₄y=2，由此能求出

|AB|

|CD|

的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）设点M（x，y），
由

2

MQ

=

PQ

，得P(x，

2

y)，
∵点P在C1：x2+y2=2上，
∴x²+2y²=2即M的轨迹方程是

x2

2

+y2=1．（5分）
（Ⅱ）设点T（-2，t），A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），
则AT，BT的方程为：x₃x+y₃y=2，x₄x+y₄y=2，
又点T（-2，t）在AT，BT上，
则有：

-2x_+ty3=2 -2x_+ty4=2

，
得AB得方程为：-2x+ty=2，
设点C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
则圆心O到AB得距离为d=

2

4+t2

，
|AB|=2

r2-d2

=2

2t2+4 t2+4

，
又由

-2x+ty=2 x2 2 +y2=1

，
得（t²+8）y²-4ty-4=0，
∴

y1+y2= 4t t2+8 y1y2= -4 t2+8

，
∴|CD|=

2 t2+4 2t2+8

t2+8

，
∴

|AB|

|CD|

=

(t2+8) t2+2

(t2+4) t2+4

，
令t²+4=s，则s≥4，
∴

|AB|

|CD|

=

1+ 6 s - 32 s3

，
∴

|AB|

|CD|

的范围为(1，

2

]．

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查两条线段的比值的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．