Question

10．先解答（1），再通过结构类比解答（2）：
（1）求证：tan（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1+tanx}{1-tanx}$；
（2）设x∈R，试问f（x+1）=$\frac{1+f（x）}{1-f（x）}$是周期函数吗？证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据两角和的正切公式，把所给的等式的右边展开，利用特殊角的三角函数最后得到和右边的式子相等，等式得证．
（2）猜想是周期函数，利用周期函数的定义证明即可．

解答 解：（1）证明：tan（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{tanx+tan\frac{π}{4}}{1-tanxtan\frac{π}{4}}$=$\frac{1+tanx}{1-tanx}$；
（2）猜想f（x）是以4为周期的周期函数．
证明：因为f（x+2×$\frac{1}{2}$）=f[（x+$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{2}$]=$\frac{1+f（x+\frac{1}{2}）}{1-f（x+\frac{1}{2}）}$=$\frac{1+\frac{1+f（x）}{1-f（x）}}{1-\frac{1+f（x）}{1-f（x）}}$=-$\frac{1}{f（x）}$，
所以f（x+4）=f[（x+2）+2]=-$\frac{1}{f（x+2）}$=f（x），
所以f（x）是以4为周期的周期函数．

点评 本题考查三角函数的化简求值，周期的应用，基本知识的考查．