Question

7．已知正四棱锥的侧棱与底面成60°角，则此四棱锥的底边与不相邻的侧棱所成角的余弦值是$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，设正四棱锥的底面边长为a，可得AC=$\sqrt{2}a$，AO=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，再由侧棱与底面成60°角，求得侧棱长，解直角三角形可得四棱锥的底边与不相邻的侧棱所成角的余弦值．

解答 解：如图，设正四棱锥的底面边长为a，则AC=$\sqrt{2}a$，
∴AO=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，又侧棱与底面成60°角，∴PA=$\sqrt{2}a$，PB=$\sqrt{2}a$，
在△PAB中，由$PA=PB=\sqrt{2}a$，AB=a，
可得cos∠PAB=$\frac{\frac{a}{2}}{\sqrt{2}a}=\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∴四棱锥的底边与不相邻的侧棱所成角的余弦值是$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查异面直线所成角，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．