Question

17．已知抛物线C的方程x²=2px，M（2，1）为抛物线C上一点，F为抛物线的焦点．
（ I）求|MF|；
（ II）设直线l₂：y=kx+m与抛物线C有唯一公共点P，且与直线l₁：y=-1相交于点Q，试问，在坐标平面内是否存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （I）求得p=2，根据抛物线的定义，即可得到所求|MF|；
（II）假设存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N，由直线l₂：y=kx+m与抛物线C有唯一公共点P知，直线l₂与抛物线C相切，利用导数求出直线l₂的方程，进而求出Q点坐标，根据直径所对的圆周角为直角，利用$\overrightarrow{NP}•\overrightarrow{NQ}$=0，求出N点坐标．

解答 解：（I）由题可知2p=4，即p=2，由抛物线的定义可知|MF|=1+1=2…（4分）
（II）由抛物线C关于y轴对称可知，若存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N，
则点N必在y轴上，设N（0，n），
又设点P（x₀，$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$），
由直线l₂：y=kx+m与抛物线C有唯一公共点P知，直线l与抛物线C相切，
由y=$\frac{1}{4}$x²得y′=$\frac{1}{2}$x，可得直线l₂的斜率为$\frac{1}{2}$x₀，
可得直线l的方程为y-$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$=$\frac{1}{2}$x₀（x-x₀），
令y=-1得x=$\frac{1}{2}$x₀-$\frac{2}{{x}_{0}}$，
可得Q点的坐标为（$\frac{1}{2}$x₀-$\frac{2}{{x}_{0}}$，-1），
即有$\overrightarrow{NP}$=（x₀，$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$-n），$\overrightarrow{NQ}$=（$\frac{1}{2}$x₀-$\frac{2}{{x}_{0}}$，-1-n），
由点N在以PQ为直径的圆上，
可得$\overrightarrow{NP}•\overrightarrow{NQ}$=$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$-（1+n）（$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$-n）=（1-n）•$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+n²+n-2=0，（*）
要使方程（*）对x₀恒成立，必须有$\left\{\begin{array}{l}{1-n=0}\\{{n}^{2}+n-2=0}\end{array}\right.$，解得n=1，
则在坐标平面内存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N，其坐标为（0，1）．…（12分）

点评 本题考查了抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系，这类题目考查比较灵活，解决问题时注意几何关系向代数关系（即坐标关系）的转化．