Question

7．已知等差数列{a_n}，公差d不为零，a₁=1，且a₂，a₅，a₁₄成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}，的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}，满足b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，求证：b₁+b₂+b₃+…+b_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （I）由a₂，a₅，a₁₄成等比数列得，（a₅）²=a₂•a₁₄，转化为公差的方程解之；
（II）利用（I）得到b_n，利用裂项求和即可．

解答 解：（I）由a₂，a₅，a₁₄成等比数列得，（a₅）²=a₂•a₁₄，…（2分）
即（1+4d）²=（1+d）（1+13d）
解得，d=2或d=0（舍）          …（4分）
a_n=2n-1        …（6分）
（II）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$）     …（8分）
所以b₁+b₂+b₃+…+b_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$$+\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$…+$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）＜$\frac{1}{2}$．…（12分）

点评 本题考查了等差数列通项公式的求法以及利用裂项求和的方法；经常考查，注意掌握．