Question

18．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且关于x的不等式x²-（a²+bc）x+m＜0（m∈R）解集为（b²，c²）．
（1）求角A的大小；
（2）若a=$\sqrt{6}$，设B=θ，△ABC的周长为y，求y=f（θ）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意，利用一元二次方程根与系数的关系可求b²+c²=a²+bc，利用余弦定理可求cosA的值，结合A∈（0，π），即可得解A的值．
（2）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得y=$2\sqrt{6}sin（θ+\frac{π}{6}）+\sqrt{6}$，利用大边对大角可求范围$B＜\frac{π}{3}$，进而可求$\frac{π}{6}＜θ+\frac{π}{6}＜\frac{π}{2}$，利用正弦函数的图象和性质可求其取值范围．

解答 解：（1）在△ABC中，由题意得：b²+c²=a²+bc，
∴$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=\frac{1}{2}$，
又A∈（0，π），
∴$A=\frac{π}{3}$．
（2）由$a=\sqrt{6}$，$A=\frac{π}{3}$及正弦定理得：$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}=2\sqrt{2}$，
∴$b=2\sqrt{2}sinB=2\sqrt{2}sinθ$，$c=2\sqrt{2}sinC=2\sqrt{2}sin（\frac{2π}{3}-θ）$，
故$y=a+b+c=\sqrt{6}+2\sqrt{2}sinθ+2\sqrt{2}sin（\frac{2π}{3}-θ）$=$2\sqrt{6}sin（θ+\frac{π}{6}）+\sqrt{6}$，
∵b＜c，
∴$B＜C=\frac{2π}{3}-B$，
∴$B＜\frac{π}{3}$，
故$0＜θ＜\frac{π}{3}$，得$\frac{π}{6}＜θ+\frac{π}{6}＜\frac{π}{2}$，
∴$\frac{1}{2}＜sin（θ+\frac{π}{6}）＜1$，
∴$y∈（2\sqrt{6}，3\sqrt{6}）$．

点评 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，余弦定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，大边对大角可，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．