Question

17．已知函数y=f（x），x∈D，若存在常数C，对任意x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使得$\sqrt{f（{x_1}）•f（{x_2}）}=C$，则称常数C是函数f（x）在D上的“湖中平均数”．若已知函数$f（x）={（{\frac{1}{2}}）^x}，x∈[{0，2016}]$，则f（x）在[0，2016]上的“湖中平均数”是$（\frac{1}{2}）^{1008}$．

Answer 1

分析 根据已知中函数y=f（x），x∈D，若存在常数C，对?x₁∈D，?唯一的x₂∈D，使得$\sqrt{f（{x_1}）•f（{x_2}）}=C$，则称常数C是函数f（x）在D上的“湖中平均数”．根据函数f（x）=（$\frac{1}{2}$）x，x∈[0，2016]，为单调减函数，可得f（x）在[0，2016]上的“湖中平均数”是其最大值和最小值的几何平均数

解答 解：由已知中湖中平均数的定义可得C即为函数y=f（x），x∈D最大值与最小值的几何平均数
又∵函数f（x）=（$\frac{1}{2}$）x，x∈[0，2016]为减函数
故其最大值M=1，最小值m=（$\frac{1}{2}$）²⁰¹⁶
故C=$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2016}}$=$（\frac{1}{2}）^{1008}$；
故答案为：${（\frac{1}{2}）^{1008}}$

点评 本题考查的知识点是函数单调性的性质，其中根据已知判断出C等于函数在区间D上最大值与最小值的几何平均数，是解答本题的关键．