【题目】如图,在直二面角中,四边形
是矩形,
,
,
是以
为直角顶点的等腰直角三角形,点
是线段
上的一点,
.
(Ⅰ)证明:面
;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)
【解析】
试题分析:(Ⅰ)要证线面垂直,一般要证两个线线垂直,观察直角三角形中,由已知三个线段长,可由射影定理(或相似三角形)由平面几何知识可证
(也可余弦定理求出
,再勾股定理证得此结论.),另外有面面垂直,用
,可得
与平面
垂直,从而有
,有了这两个线线垂直,就可得线面垂直;(Ⅱ)要求二面角,图形中
两两垂直,以它们坐标轴建立空间直角坐标系后,可写出各点坐标,从而可求得平面
和平面
的法向量,由法向量夹角与二面角相等(或互补)可求得二面角.
试题解析:(Ⅰ)证明:由题意知:,
,
.
∵,∴
.
∵平面平面
,平面
平面
,
,
平面
,∴
平面
.
∵平面
,∴
.
∵,∴
平面
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知、
、
两两互相垂直,以
为原点,
方向为
轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系,则
,
,
,
.
∵,
,∴
.
∴,
.
设是平面
的法向量,则
,
∴,取
得平面
的一个法向量
,
又平面的一个法向量
,
设二面角的平面角为
,由题中条件可知
,
则,
∴二面角的余弦值为
.
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【题目】根据下面对几何体结构特征的描述,说出几何体的名称.
(1)由8个面围成,其中2个面是互相平行且全等的六边形,其他各面都是平行四边形.
(2)由5个面围成,其中一个是正方形,其他各面都是有1个公共顶点的三角形.
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【题目】下列叙述中,正确的是( )
A.四边形是平面图形
B.有三个公共点的两个平面重合。
C.两两相交的三条直线必在同一个平面内
D.三角形必是平面图形。
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【题目】某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房,由于地理位置的限制,房子侧面的长度x不得超过a m,房屋正面的造价为400元/m2,房屋侧面的造价为150元/m2,屋顶和地面的造价费用合计为5800元,如果墙高为3 m,且不计房屋背面的费用.当侧面的长度为多少时,总造价最低?最低总造价是多少?
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【题目】从学号为0~50的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试,采用系
统抽样的方法,则所选5名学生的学号可能是:( )
A、5,15,25,35,45 B、1,2,3,4,5
C、2,4,6,8,10 D、 4,13,22,31,40
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【题目】辽宁号航母纪念章从2012年10月5日起开始上市.通过市场调查,得到该纪念章每1枚的市场价 (单位:元)与上市时间
(单位:天)的数据如下:
(1)根据上表数据结合散点图,从下列函数中选取一个恰当的函数描述辽宁号航母纪念章的市场价与上市时间
的变化关系并说明理由:①
;②
;③
.
(2)利用你选取的函数,求辽宁号航母纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格.
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【题目】设命题p:x>0,x-lnx>0,则¬p为
A. x0>0,x0-lnx0>0 B. x0>0,x0-lnx0≤0
C. x>0,x-lnx<0 D. x>0,x-lnx≤0
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