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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    已知点D（0，-2），过点D作抛物线C1：x2=2py（p＞0）的切线l，切点A在第二象限，如图
    （Ⅰ）求切点A的纵坐标；
    （Ⅱ）若离心率为
    		3
    2
    的椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    恰好经过切点A，设切线l交椭圆的另一点为B，记切线l，OA，OB的斜率分别为k，k1，k2，若k1+2k2=4k，求椭圆方程．
    （Ⅰ）设切点A（x0，y0），且y0=
    x02
    2p
    ，
    由切线l的斜率为k=
    x0
    p
    ，得l的方程为y=
    x0
    p
    x-
    x02
    2p
    ，又点D（0，-2）在l上，
    ∴
    x02
    2p
    =2    ，即点A的纵坐标y0=2．…（5分）
    （Ⅱ）由（Ⅰ）得A(-2
    		p
    ，2)    ，切线斜率k=-
    2
    		p
    ，
    设B（x1，y1），切线方程为y=kx-2，由e=
    		3
    2
    ，得a2=4b2，…（7分）
    所以椭圆方程为
    x2
    4b2
    +
    y2
    b2
    =1    ，且过A(-2
    		p
    ，2)    ，∴b2=p+4…（9分）
    由
    y=kx-2
    x2+4y2=4b2
    ⇒(1+4k2)x2-16kx+16-4b2=0    ，∴
    x0+x1=
    16k
    1+4k2
    x0x1=
    16-4b2
    1+4k2
    ，…（11分）k1+2k2=
    y0
    x0
    +
    2y1
    x1
    =
    x1y0+2x0y1
    x0x1
    =
    x1(kx0-2)+2x0(kx1-2)
    x0x1
    =3k-
    2x1+4x0
    x0x1

    =3k-
    2(x1+x0)+2x0
    x0x1
    =3k-
    32k
    1+4k2
    -4
    		p
    16-4b2
    1+4k2
    =3k-
    32k-4
    		p
    (1+4k2)
    16-4b2
    =4k
    将k=-
    2
    		p
    ，b2=p+4代入得：p=32，所以b2=36，a2=144，
    椭圆方程为
    x2
    144
    +
    y2
    36
    =1    ．…（15分）
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    科目：高中数学 来源：不详 题型：填空题

    椭圆
    x2
    45
    +
    y2
    20
    =1    的焦点分别为F1和F2，过原点O作直线与椭圆相交于A，B两点．若△ABF2的面积是20，则直线AB的方程是______．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    设椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的左、右顶点分别为A（-
    		2
    ，0）、B（
    		2
    ，0），离心率e=
    		2
    2
    ．过该椭圆上任一点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，点C在QP的延长线上，且|PC|=（
    		2
    -1）|PQ|．
    （1）求椭圆的方程；
    （2）求动点C的轨迹E的方程；
    （3）设直线MN过椭圆的右焦点与椭圆相交于M、N两点，且|MN|=
    8
    		2
    7
    ，求直线MN的方程．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆C过点P（1，
    3
    2
    ），两个焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0）．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）过点F1的直线交椭圆于A、B两点，求线段AB的中点的轨迹方程．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    过点(1，
    		2
    2
    )    ，离心率为
    		2
    2
    ，左、右焦点分别为F1、F2．点P为直线l：x+y=2上且不在x轴上的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O为坐标原点．设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2．
    （Ⅰ）证明：
    1
    k1
    -
    3
    k2
    =2    ；
    （Ⅱ）问直线l上是否存在点P，使得直线OA、OB、OC、OD的斜率kOA、kOB、kOC、kOD满足kOA+kOB+kOC+kOD=0？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    直线L：
    x
    4
    +
    y
    3
    =1与椭圆E：
    x2
    16
    +
    y2
    9
    =1相交于A，B两点，该椭圆上存在点P，使得△PAB的面积等于3，则这样的点P共有（　　）
    A．1个B．2个C．3个D．4个

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，已知圆C1的方程为(x-2)2+(y-1)2=
    20
    3
    ，椭圆C2的方程为
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0），C2的离心率为
    		2
    2
    ，如果C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C1的直径，求直线AB的方程和椭圆C2的方程．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：填空题

    过（2，0）点且倾斜角为60°的直线与椭圆
    x2
    5
    +
    y2
    3
    =1    相交于A，B两点，则AB中点的坐标为______．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知点P(-1，
    3
    2
    )    是椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）上一点，F1、F2分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标原点，PF1⊥x轴．
    （1）求椭圆E的方程；
    （2）设A、B是椭圆E上两个动点，是否存在λ，满足
    PA
    +
    PB
    =λ
    PO
    （0＜λ＜4，且λ≠2），且M（2，1）到AB的距离为
    		5
    ？若存在，求λ值；若不存在，说明理由．

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